Autocorrect ist eben ein Astloch!
Genau, Seen und Spielplätze sind auch ohne Genehmigung möglich (Genehmigung des Eigentümers ist trotzdem wichtig!).
In etwa dürften es 70-75 Euro für das erste Jahr sein. Damit dürftest Du dann auf Äckern und im Baustellenaushub suchen (Wald und Wiese erfordert eine Sondergenehmigung... kann man aber nicht direkt zum Start einfach so beantragen). Aber Äcker sind eh am erfolgversprechendsten...
Die erste Genehmigung gilt für ein Jahr. Später, bei guter Zusammenarbeit mit den Denkmalämtern, sind aber mehrere Jahre möglich.
Zeiler wird Dir das auch noch mal erklären, aber Du brauchst quasi einen (formlosen) Antrag auf Grabungsgenehmigung nach §13 DSchG.
Es könnte sein, dass Du zum Anfang einige Äcker benennen solltest, auf denen Du suchen möchtest. Wenn Du soweit bist, frag ruhig noch mal, auf was man da achten sollte.